यदि $f(x) = \log_e \left( \frac{1-x}{1+x} \right)$,$|x| < 1$ है,तो $f\left( \frac{2x}{1+x^2} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

List-$I$ की वस्तुओं को List-$II$ की वस्तुओं के साथ सुमेलित कीजिए:

List-$I$	List-$II$
$A$. $\sec ^{-1}\left[1+\cos ^2 x\right]$ का परिसर, जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन है	$I$. विषम फलन
$B$. $f(x)$ का प्रांत जहाँ $f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^2+\frac{1}{x^2}$	$II$. $\left\{0, \frac{1}{2}\right\}$
$C$. $f(x+y)=f(x)+f(y) ; f(1)=5$	$III$. $\left\{\sec ^{-1} 5, \sec ^{-1} 4\right\}$
$D$. $\sin ^{-1} x-\cos ^{-1} x+\sin ^{-1}(1-x)=0 \Rightarrow x \in$	$IV$. $R$
	$V$. $\left\{\sec ^{-1} 1, \sec ^{-1} 2\right\}$

यदि $f: R-\{0\} \rightarrow R$ को $f(x)=x+\frac{1}{x}$ द्वारा परिभाषित किया गया है और यदि $k \geq 1$ के लिए $f^k(x)=[f(x)]^k$ है,तो $f^4(x)-f(x^4)-4f^2(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $S$ एक परिमित समुच्चय है। तो एक गैर-तत्समक फलन $f: S \rightarrow S$ हो सकता है

मान लीजिए $f(x) = Ax^3 - Bx - \tan x \cdot \text{sgn}(x)$ एक सम फलन है $\forall x \in R - \left\{ (2n + 1)\frac{\pi}{2}, n \in I \right\}$,जहाँ $A = \sin^2 \alpha - \sin \alpha + \frac{1}{4}$ और $B = \tan^2 \alpha + \frac{2}{\sqrt{3}} \tan \alpha + \frac{1}{3}$ है। तो $\left[ -\frac{3\pi}{2}, 2\pi \right]$ में $\alpha$ के मानों की संख्या ज्ञात कीजिए (जहाँ $\text{sgn}(x)$ का अर्थ $x$ का सिग्मम फलन है)।

समीकरण $|x^2 - 2|x|| = 2^x$ के हलों की संख्या क्या है?